Syn pojišťovacího agenta z napůl německé rodiny vstoupil po válce do komunistické strany a na Masarykově univerzitě vystudoval češtinu, ruštinu a srbochorvatštinu. V roce 1958 se zde stal děkanem filozofické fakulty, po roce 1970 však musel ze školy kvůli kritice sovětské okupace odejít.
Působil v Ústavu pro jazyk český Československé akademie věd, a to převážně ve zdejší jazykové poradně, ale nesměl publikovat, pouze pod takzvanými "pokrývači" neboli jmény svých kolegů.
Účastnil se zato velmi podstatně života brněnského disentu. Jeho samizdatová dílna, pro niž za normalizace opisovalo zakázaná díla a autory množství spolupracovníků, byla jednou z nejpodstatnějších v tehdejším Československu.
Manželé Jelínkovi založili také samizdatovou edici Prameny, v níž vyšlo na 120 knih a 130 čísel podzemních časopisů, například pověstný Obsah. Jejich byt rovněž sloužil jako základna brněnské podzemní univerzity.
Po převratu v roce 1989 se stal Milan Jelínek na dva roky rektorem Masarykovy univerzity, ale pro horšící se zdravotní stav odešel.
